O QUE É LIMITE?

O conceito de limite está fundamentado sobre todos os demais conceitos de cálculo, como por exemplo, os conceitos de: taxa de variação instantânea, velocidade e aceleração (ANTON, 2007).

As idéias básicas do cálculo de limites foram originadas nos dois problemas geométricos, sendo eles: o problema da reta tangente a o problema da área.

No que se refere a reta tangente, pode-se dizer que esta é tangente a um círculo se o encontrar precisamente em um ponto (Figura 1a). Porém essa definição não é válida para curvas mais gerais. Tomamos como exemplo à figura 1b, neste item a reta encontra a curva exatamente uma vez, mas obviamente não consideraríamos uma reta tangente. Na figura 1c, a reta parece ser tangente a curva, porém intercepta-a mais de uma vez (ANTON, 2007).

Figura 1 – Reta tangente

Fonte: ANTON, 2007

Para obter uma definição de reta tangente que se aplique as curvas que não sejam circulares, devemos ver a reta tangente de outra maneira. Para isso, suponha que estejamos interessados na reta tangente a uma curva em um ponto P no plano xy e que Q é um ponto qualquer que pertence à curva e é distinto de P. A reta que passa por P e Q é denominada de reta secante à curva em P. A concepção sugere que, se movermos o ponto Q em direção a P, então a reta secante irá girar em direção a posição limite. A reta nessa posição limite é o que consideraremos ser a reta tangente em P (Figura 2a). Como sugerido na figura 2b, esse novo conceito de reta tangente assemelha-se ao conceito tradicional quando aplicados a círculos (ANTON, 2007).

Figura 2 – Reta secante e reta tangente

Fonte: ANTON, 2007

No que se refere à área, da mesma maneira que a noção geral de reta tangente leva ao conceito de limite, o próprio acontece como a noção geral de área. Para regiões planas, com contornos formados por linhas retas, as áreas podem ser calculadas subdividindo-se a região em retângulos ou triângulos, e somando-se as áreas das partes constituintes. Entretanto, para regiões onde o contorno é curvo, como a figura 3a, é necessária uma abordagem mais geral.
Umas dessas abordagens é aproximar a área da região com um certo número de retângulos inscritos de larguras iguais sobre a curva e somar as áreas desses retângulos (Figura 3b). A concepção sugere que se repetirmos esse processo de aproximação com cada vez mais retângulos, então eles tenderão a preencher os vazios sob a curva e a aproximação ficará cada vez mais precisa sob a curva (Figura 3c). Isso sugere que podemos definir a área sob a curva como sendo o valor limite dessas aproximações (ANTON, 2007).

Figura 3 – Aproximação da área através de retângulos

Fonte: ANTON, 2007

REFERÊNCIAS

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen L.. Cálculo 1. 8. ed. PORTO ALEGRE: Bookman, 2007. 581p.

Publicado por: Jéssica Inácio de Sousa.