EXISTÊNCIA DE UMA FUNÇÃO INVERSA

A determinação da inversa de uma função fundamentou-se na resolução da equação y = f(x) para x como função de y. Porém, essa metodologia pode falhar por dois motivos: a função f pode não ter uma inversa, ou tem uma inversa mas a equação y = f(x) não pode ser resolvida explicitamente para x como função de y. Para tanto, é necessário sugerir formas que garantam a existência de uma inversa, mesmo se não for possível encontrá-la explicitamente (ANTON, 2007).

Se uma função f tem uma inversa, então ela deve relacionar com saídas distintas a entradas distintas. Por exemplo, a função f(x)= x² não pode ter uma inversa porque associa o mesmo valor a x=2 e a x=-2, a saber, f(2) = f(-2) = 4. Assim, se f(x)= x² tivesse uma inversa, então a equação f(2) = 4 implicaria que f^-1(4) = 2 e a equação f(-2) = 4 implicaria que f^-1(4) = -2. Porém, isso é impossível, porque f^-1(4) não pode ter dois valores diferentes. Outra maneira de ver que f(x)= x² não tem inversa é tentar encontrar uma inversa resolvendo a equação y= x² para x como função de y. Em seguida, nos deparamos com a equação x=+/-(x)^1/2, que não expressa x como uma função bem definida de y (ANTON, 2007).

Uma função que associa saídas distintas a entradas distintas é denominada injetora ou invertível. Por isso, se uma função tem uma inversa, então ela deve ser injetora. O inverso também é verdadeiro, conforme o teorema: “Uma função tem uma inversa se, e somente se, f é injetora” (ANTON, 2007).

REFERÊNCIA

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen L.. Cálculo 1. 8.ed. PORTO ALEGRE: Bookman, 2007. 581p.

By Jéssica Inácio de Sousa