Como encontrar uma função do segundo grau pelo gráfico

Equação de uma função do segundo grau qualquer:

y=f(x)  ;  y = ax² + bx +c

Para conseguir achar a equação da função dada, é necessário pegar três pontos conhecidos da função.
Um destes pontos tem que ser o intercepto no eixo y (para facilitar os cálculos) e os outros dois podem ser pontos quaisquer da função.

ex.:



y(0) = -1  => intercepto
y(2) = 3
y(3) = 8

Primeiro substitua o ponto de intercepto no eixo y na equação de uma função qualquer;

y = ax² + bx + c

substituindo;

-1 = a(0)² + b(0) + c

-1 = c

Portanto c é igual -1;

y = ax² + bx - 1

Agora temos que substituir os dois outros pontos e fazer um sistema com as equações que esses pontos iram gerar;

3 = a(2)² + b(2) -1
3 = 4a + 2b -1
4 = 4a +2b  *eq. 1*

8 = a(3)² + b(3) -1
8 = 9a + 3b -1
9 = 9a + 3b *eq. 2*

Sistema:
eq.1 =>  4 = 4a + 2b => isolando o a => a = (4 - 2b)/4 = 1 - 0,5b *eq. 3*
eq.2 =>  9 = 9a + 3b

substituindo a eq.3 na eq.2;

9 = 9(1 - 0,5b) + 3b
9 = 9 - 4,5b + 3b
9 - 9 = - 1,5b
0 = -1,5b
b = 0

 *eq 3* substitua o b;

a = 1 - 0,5b = 1

Agora substituindo o "a" e o "b" temos a função:

y = 1x² + 0b -1 
y= x² -1

Fim.